Эта статья является препринтом и не была отрецензирована.
О результатах, изложенных в препринтах, не следует сообщать в СМИ как о проверенной информации.
Эргодическая гипотеза для логарифмов простых чисел и её эквивалентность гипотезе Монтгомери о парной корреляции. Расширенная версия.
Мы формулируем точную эргодическую гипотезу, касающуюся равномерного парного распределения взвешенного множества {log p : p — простое} на вещественной прямой. Гипотеза утверждает, что для любой гладкой тестовой функции f с компактным носителем
\[
\lim_{X \to \infty} \frac{1}{(\log X)^2} \sum_{p,q \le X} \frac{(\log p)^2}{p} \frac{(\log q)^2}{q} f(\log p - \log q) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, dt.
\]
Мы строим семейство конечно-ранговых эрмитовых операторов HX,N, построенных из простых чисел, собственные значения которых являются явными тригонометрическими суммами, включающими log p. С помощью детального анализа автокорреляции этих собственных значений — используя дискретное преобразование Фурье, метод моментов и тщательный контроль погрешностей — мы доказываем, что эргодическая гипотеза строго эквивалентна гипотезе Монтгомери о парной корреляции нулей дзета-функции Римана. Эквивалентность устанавливается безусловно и даёт новую, непосредственно проверяемую формулировку одной из центральных открытых проблем аналитической теории чисел. Все оценки полностью строгие, а конструкция оператора элементарна и требует лишь конечномерной линейной алгебры и классического анализа Фурье.
1. 1] G. W. Anderson, A. Guionnet, and O. Zeitouni. An Introduction to Random Matrices. Cambridge University Press, Cambridge, 2010.
2. 2] N. H. Bingham, C. M. Goldie, and J. L. Teugels. Regular Variation. Cambridge University Press, Cambridge, 1987.
3. 3] J. B. Conrey. The Riemann Hypothesis. Notices Amer. Math. Soc., 50(3):341-353, 2003.
4. 4] H. Davenport. Multiplicative Number Theory, 3rd ed. Springer, New York, 2000.
5. 5] F. J. Dyson. Statistical theory of the energy levels of complex systems. I. J. Math. Phys., 3:140-156, 1962.
6. 6] F. J. Dyson. Statistical theory of the energy levels of complex systems. II. J. Math. Phys., 3:157-165, 1962.
7. 7] F. J. Dyson. Statistical theory of the energy levels of complex systems. III. J. Math. Phys., 3:166-175, 1962.
8. 8] H.-M. Edwards. Riemann's Zeta Function. Academic Press, New York, 1974.
9. 9] W. Feller. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 2, 2nd ed. Wiley, New York, 1971.
10. 10] N. M. Katz and P. Sarnak. Random Matrices, Frobenius Eigenvalues, and Monodromy. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999.
11. 11] J. P. Keating and N. C. Snaith. Random matrix theory and \(\zeta (1 / 2 + it)\) . Comm. Math. Phys., 214(1):57-89, 2000.
12. 12] M. L. Mehta. Random Matrices, 3rd ed. Elsevier/Academic Press, Amsterdam, 2004.
13. 13] F. Mertens. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie. J. Reine Angew. Math., 78:46-62, 1874.
14. 14] H. L. Montgomery. The pair correlation of zeros of the zeta function. In Analytic Number Theory, Proc. Sympos. Pure Math., Vol. 24, pp. 181-193. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1973.
15. 15] V. V. Petrov. Sums of Independent Random Variables. Springer, Berlin, 1975.
16. 16] S. I. Resnick. Extreme Values, Regular Variation, and Point Processes. Springer, New York, 1987.
17. 17] E. C. Titchmarsh. The Theory of the Riemann Zeta-function. Oxford University Press, Oxford, 1951.
