Некоторые свойства экстремальных функций в проблеме Кшижа

Денис Леонидович Ступин

ПРЕПРИНТ

Эта статья является препринтом и не была отрецензирована.
О результатах, изложенных в препринтах, не следует сообщать в СМИ как о проверенной информации.

Некоторые свойства экстремальных функций в проблеме Кшижа

Д. Л. Ступин

2026-08-27

https://doi.org/10.24108/preprints-3113495

Рассматривается гипотеза Кшижа об оценке модулей коэффициентов Тейлора на классе голоморфных, ограниченных, не обращающихся в нуль функций. В отличие от многих исследований этой проблемы в настоящей работе изучаются не только глобальные, но и локально экстремальные функции во введённой топологии, более сильной, чем топология локально равномерной сходимости. Установлена связь рассматриваемого класса с классом Каратеодори и описан общий вид экстремальных функций в проблеме Кшижа. Показано, что каждой экстремальной функции соответствует порождённый её коэффициентами полином $H$ с положительной в единичном круге действительной частью. Для исследования таких полиномов применяется конечномерный аналог критерия Каратеодори-Тёплица для полиномов, следующий из теоремы Рисса-Фейера. Получены необходимые условия экстремальности, существенно упрощающие исследование экстремалей при фиксированном $n$. Исследованы условия единственности экстремальной функции. В частности, доказано, что единственность глобальной экстремали влечёт справедливость гипотезы Кшижа. Введено понятие функций экстремального типа, удовлетворяющих всем полученным необходимым условиям экстремальности. Каждая локально экстремальная функция является функцией экстремального типа, причём поиск таких функций при фиксированном номере коэффициента сводится к решению конечной системы уравнений и неравенств. Полностью описаны множества функций экстремального типа при $n=1,2,3$. Доказано, что множество функций экстремального типа для $n=1$ состоит из одной функции, для $n=2$ --- из пяти функций, а для $n=3$ --- из девятнадцати функций. Сравнение значений исследуемого функционала на этих множествах даёт доказательство гипотезы Кшижа для $n=1,2,3$.

Ссылка для цитирования:

Ступин Д. Л. 2026. Некоторые свойства экстремальных функций в проблеме Кшижа. PREPRINTS.RU. https://doi.org/10.24108/preprints-3113495

Список литературы

1. Krzyz J. G. Coefficient problem for bounded nonvanishing functions // Ann. Polon. Math. 1968. V. 20. P. 314.

2. Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. Москва: Наука, 1969.

3. Prokhorov D. V., Szynal J. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions // Bull. Acad. Pol. Sci. Ser. Sci. Math. 1981. V. 29. N. 5--6. P. 223--230.

4. Ступин Д. Л. Точная оценка третьего коэффициента для ограниченных не обращающихся в нуль голоморфных функций с действительными коэффициентами // Вестник российских университетов. Математика. 2025. Т. 30. N. 149. С. 79--92.

5. Lindelof E. Memoire sur certaines inegalites dans la theorie des fonctions monogenes et sur quelques proprietes nouvelles de ces fonctions dans le voisinage d'un point singulier essentiel // Acta Soc. Sci. Fenn. 1909. V. 35. N. 7. P. 1--35.

6. Littlewood J. E. Lectures on the theory of functions. Oxford University Press, 1947.

7. Rogosinski W. On the coefficients of subordinate functions // Proc. London Math. Soc. 1943. V. 48. P. 48--82.

8. Hummel J. A., Scheinberg S., Zalcman L. A. A coefficient problem for bounded nonvanishing functions // J. d'Analyse Mathematique. 1977. V. 31. P. 169--190.

9. Szapiel W. A new approach to the Krzyz conjecture // Ann. Univ. M. Curie-Sklodowska. Sec. A. 1994. V. 48. P. 169--192.

10. Ступин Д. Л. Один метод оценки модулей тейлоровских коэффициентов подчинённых функций // Вестник ВГУ. Физика. Математика. 2024. N. 2. С. 71--84.

11. Peretz R. Applications of subordination theory to the class of bounded nonvanishing functions // Compl. Var. 1992. V. 17. N. 3--4. P. 213--222.

12. Ступин Д. Л. Точные оценки коэффициентов в проблеме Кшижа // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 2010. С. 52--60.

13. Stupin D. L. The sharp estimates of all initial taylor coefficients in the Krzyz's problem // arXiv:1104.3984. 2011.

14. Голузин Г. М. Геометрическая теория функций комплексного переменного. 2-е изд. М.: Наука, 1966.

15. Levin V. I. Losung der Aufgabe 163 // Jahresber. DM. 1934. V. 44. N. 2. P. 80--81.

16. Samaris N. A proof of Krzyz's conjecture for the fifth coefficient // Compl. Var. Theory and Appl. 2003. V. 48. P. 753--766.

17. Ступин Д. Л. Новый метод оценки модулей начальных тейлоровских коэффициентов на классе ограниченных не обращающихся в нуль функций // Вестник российских университетов. Математика. 2024. Т. 29. N. 145. С. 98--120.

18. Ступин Д. Л. Гипотеза Кшижа и выпуклые однолистные функции // Журнал Средневолжского математического общества. 2025. Т. 27. N. 1. С. 81--96.

19. Horowitz C. Coefficients of nonvanishing functions in H-infinity // Israel J. Math. 1978. V. 30. P. 285--291.

20. Ermers R. Coefficient estimates for bounded nonvanishing functions. Helmond: Wibro Dissertatiedrukkerij, 1990.

21. Peretz R. Some properties of extremal functions for Krzyz problem // Compl. Var. 1991. V. 16. N. 1. P. 1--7.

22. Martin M. J., Sawyer E. T., Uriarte-Tuero I., Vukotic D. The Krzyz conjecture revisited // Advances in Mathematics. 2015. V. 273. P. 716--745.

23. Kortram R. A. Coefficients of bounded nonvanishing functions // Indag. Math. New Ser. 1993. V. 4. N. 4. P. 471--478.

24. Kiepiela K., Pietrzyk M., Szynal J. Meixner polynomials and nonvanishing holomorphic functions // Journal of Computational and Applied Mathematics. 2001. V. 133. N. 1--2. P. 423--428.

25. Ganczar A., Michalska M., Szynal J. The conjecture parallel to the Krzyz conjecture // Demonstratio Math. Warsaw Technical University Institute of Mathematics. 2003. V. 36. N. 1. P. 65--75.

26. Peretz R. The Krzyz Problem and Polynomials with Zeros on the Unit Circle // Compl. Var. 2002. V. 47. N. 3. P. 271--276.

27. Peretz R. The Krzyz Conjecture Theory and Methods. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd, 2021.

28. Agler J., McCarthy J. E. The Krzyz Conjecture and an Entropy Conjecture // J. d'Analyse Mathematique. 2021. V. 144. P. 207--226.

29. Krushkal S. L. Two Coefficient Conjectures for Nonvanishing Hardy Functions, I // J. Math. Sci. 2022. V. 268. P. 199--221.

30. Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Fourier'schen Konstanten von positiven harmonischen Funktionen // Rendiconti Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P. 193--217.

31. Toeplitz O. Uber die Fourier'sche Entwickelung positiver Funktionen // Rendiconti Circ. Mat. di Palermo. 1911. V. 32. P. 191--192.

32. Ступин Д. Л. Проблема коэффициентов для функций, отображающих круг в обобщённый круг и задача Каратеодори-Фейера // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь. 2012. С. 45--74.

33. Caratheodory C. Uber den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen // Mathematische Annalen. 1907. V. 64. P. 95--115.

34. Ступин Д. Л. Проблема коэффициентов для ограниченных функций и её приложения // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28. N. 143. С. 277--297.

35. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. 4-е изд., испр. СПб: Невский Диалект; БХВ-Петербург, 2004.

36. Grigoriciuc E. S. On some classes of holomorphic functions whose derivatives have positive real part // Stud. Univ. Babes--Bolyai Math. 2021. V. 66. N. 3. P. 479--490.

37. Ступин Д. Л., Шеретов В. Г. Доказательство локальной гипотезы Кшижа // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. Тверь. 2005. N. 6(12). С. 122--125.

38. Ступин Д. Л. Теорема Рисса-Фейера и некоторые её следствия // Известия вузов. Математика. В печати.

39. Rovnyak J. Fejer-Riesz theorem // Encyclopedia of Mathematics. Springer Verlag GmbH, EMS.

40. Fejer L. Uber trigonometrische Polynome // J. Reine Angew. Math. 1916. N. 146. P. 53--82.

41. Riesz F. Uber ein Problem des Herrn Caratheodory // J. Reine Angew. Math. 1916. N. 146. P. 83--87.

42. Hussen A., Zeyani A. Fejer-Riesz Theorem and Its Generalization // International Journal of Scientific and Research Publications. 2021. V. 11. N. 6. P. 286--292.

43. Tsuji M. Potential theory in modern function theory. 2nd ed. N.Y.: Chelsea Pub. Co., 1975.

ПРЕПРИНТ

ИНФОРМАЦИЯ

Использование куки-файлов