Эта статья является препринтом и не была отрецензирована.
О результатах, изложенных в препринтах, не следует сообщать в СМИ как о проверенной информации.
Синтетический Негладкий Анализ. Топология Пенона, локали значений и обобщённые производные в гладком топосе
2026-03-29
Настоящая монография строит **Синтетический негладкий анализ (СНА)** как прямое и систематическое продолжение СВА. Ключевой шаг — отказ от ожидания, что негладкость есть «отсутствие производной» у стрелок $\mathbf{R}^n\to \mathbf{R}$, и переход к точному тезису: **негладкость в гладком топосе является топологически‑локалевой**. Мы вводим внутреннюю топологию Пенона $P(X)$ (локаль Penon‑открытых подобъектов), фиксируем логические инфинитезималы $\Delta={d\in\mathbf{R}\mid \neg\neg(d=0)}$ и строим теорию значений в локалях нижних/верхних вещественных и расширенных значений. На этом фундаменте определяются синтетические аналоги обобщённых производных и субдифференциалов: синтетический субдифференциал Кларка $\partial_C^S$, проксимальный/Моро $\partial_M^S$ и лимитный (Мордухович‑тип) $\partial_L^S$; строятся $P$‑касательные и $P$‑нормальные конусы к множествам и эпиграфам; развивается исчисление (сумма, максимум, композиция, строгая цепочка); формулируются $P$‑монотонные многозначные включения, резольвенты и регуляризации Йосиды; доказывается конструктивная негладкая двойственность на базе $P$‑сопряжения Лежандра–Фенхеля без Хана–Банаха; выводятся теоремы существования решений вариационных неравенств и включений и даются алгоритмы (проксимальные и splitting‑схемы) с гарантиями сходимости в $P$‑смысле.
Ссылка для цитирования:
Чурилов М. В. 2026. Синтетический Негладкий Анализ. Топология Пенона, локали значений и обобщённые производные в гладком топосе. PREPRINTS.RU. https://doi.org/10.24108/preprints-3114794
Список литературы
1. [1] F. W. Lawvere, _Outline of Synthetic Differential Geometry_ (лекции и рукописи).
2. [2] A. Kock, _Synthetic Differential Geometry_, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, 2006.
3. [3] R. Lavendhomme, _Basic Concepts of Synthetic Differential Geometry_, Springer, 1996.
4. [4] I. Moerdijk, G. E. Reyes, _Models for Smooth Infinitesimal Analysis_, Springer, 1991.
5. [5] J. Penon, _Infinitésimaux et intuitionnisme_, Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques 22 (1981).
6. [6] J. Penon, _De l’infinitésimal au local_ (Thèse de Doctorat d’État), Diagrammes S13 (1985), 1–191.
7. [7] F. H. Clarke, _Optimization and Nonsmooth Analysis_, Wiley, 1983; reprint SIAM, 1990.
8. [8] J.-J. Moreau, _Proximité et dualité dans un espace hilbertien_, Bull. Soc. Math. France, 1965.
9. [9] R. T. Rockafellar, R. J.-B. Wets, _Variational Analysis_, Springer, 1998.
10. [10] B. Mordukhovich, _Variational Analysis and Generalized Differentiation I–II_, Springer, 2006.
11. [11] H. H. Bauschke, P. L. Combettes, _Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces_, 2nd ed., Springer, 2017.
12. [12] Y. Nesterov, _Introductory Lectures on Convex Optimization_, Springer, 2004.
13. [13] Чурилов М. В. 2025. Синтетический Вариационный Анализ. Конструктивная Двойственность, Монотонные Операторы и Геометрия Оптимизации в Гладких Топосах. PREPRINTS.RU. https://doi.org/10.24108/preprints-3113832
