В статье проблема Гаусса о числе целых точек для круга и шара в рамках целочисленной решетки равнозначным образом переформулируется и сводится к решению двух комбинаторных задач для кругового и сферического «слоев» в рамках квантового дискретного пространства. Эти задачи решаются при помощи тригонометрических функций, определенных на множестве целых чисел, областью значений которых также являются целые числа, и иных новых математических инструментов. Речь идет не об оценочных решениях, а именно о точных решениях, которые при необходимости можно будет перенести на круг и шар. При этом приводятся не только конкретные формулы для определения точного числа решений, но и формулы для перечисления соответствующих пар и троек целых чисел. Важность полученных решений заключается в том, что они определяют аналитические подобия не только окружности и сферы в квантовом дискретном пространстве, но и указывают на возможность построения подобий эллипса, конуса, гиперболоида и других фигур, и тем самым они закладывают основы математики в рамках квантового дискретного пространства.